Dispositivos electrónicos 2: Función de Fermi, estadística de Fermi-Dirac

La energía de los electrones está discretizada: no existe un intervalo continuo de valores para la energía que puede tener un electrón, sino que los posibles valores son un conjunto finito (conforme aumenta la energía de un electrón, también lo hace la probabilidad* de que escape a la fuerza de atracción del núcleo, hasta llegar a probabilidad=1, esto es, el fenómeno objeto de estudio se produce con total seguridad) de puntos aislados.

Todo en la naturaleza parece tender a la mínima energía, y los electrones se disponen de tal manera que de algún modo «eligen o algo les hace elegir» el menor nivel de energía posible que esté libre. También entra en juego el principio de exclusión de Pauli...

La estadística de Fermi-Dirac muestra la probabilidad de que los estados de la banda de valencia y de la banda de conducción de un cristal de semiconductor (recordemos que en los semiconductores sí existe una banda prohibida) estén ocupados por electrones, en función del nivel de energía E objeto de interés, de la temperatura en grados kelvin, y del valor de la energía del nivel de Fermi (E_F), aunque también aparece la constante de Boltzman, k, cuyo significado ahora no nos importa y la trataremos como otra constante habitual. La energía del nivel de Fermi, o simplemente nivel de Fermi, es la energía del nivel de energía (recordemos que los nivel de energía son un conjunto finito, y que cada uno (nivel 1, nivel 2, ..., nivel n) exige una cantidad de energía medida en eV (electrón-voltio ó electronvoltio), por lo que esta frase no debe dar lugar a confusión) más alto que está ocupado por electrones a una temperatura T=0º kelvin (todas las T aquí indican temperatura absoluta). Obsérvese que la probabilidad de que haya electrones en el nivel de Fermi (E=E_F) es de 0.5 independientemente de la temperatura (pues 1/(1+e^0) = 1/2). Puede que sea más práctico e intuitivo definir E_F precisamente como el nivel de energía para el cual, para toda temperatura T, la probabilidad de que existan electrones en ese nivel de energía es de 0.5, sin tener que entrar en más consideraciones.

Realmente la definición de f(E) es más compleja, pero las implicaciones adicionales de la definición completa se escapan al propósito de este texto y por el momento a mis conocimientos, por lo que para nosotros, el que se trate de «la forma de contar estados de ocupación de forma estadística en un sistema de fermiones» será irrelevante. Evidentemente, un electrón es un tipo de fermión, en concreto, un leptón, pero eso son otras historias.

Si en lugar de utilizar el potencial electroquímico μ, como parámetro de la función, usamos E_F, la estadística de Fermi-Dirac se llama simplemente función de Fermi, que es como llamaremos al concepto de aquí en adelante. Esto es así porque el potencial electroquímico es aproximadamente igual a E_F a temperaturas muy inferiores a una energía característica denominada Temperatura de Fermi. Así que, para nosotros, μ=E_F, y no volveremos a comentar nada sobre μ. Esto simplifica las cosas.

Ésta es la estadística de Fermi-Dirac:

donde:

n_i el número promedio de partículas en el estado de energía ε_i.
g_i es la degeneración el estado i-ésimo
ε_i es la energía en el estado i-ésimo
μ es el potencial químico
T es la temperatura
k_B la constante de Boltzmann

Ésta es la función de Fermi:

La siguiente gráfica representa la función de Fermi trazada para 4 diferentes temperaturas T. Obsérvese que conforme aumentan las temperaturas el escalón no es tan acusado, las curvas son más suaves. Los electrones se excitan cuando T aumenta, y es más probable encontrarlos en niveles superiores de energía E.

También existen applets que permiten ver cómo se modifica la traza de f(E) al cambiar T y E_F.

No hay ninguna dificultad en utilizar una fórmula prefabricada, pero siempre es interesante saber algo más de las cosas. Como siempre, este texto está sujeto a futuras modificaciones. Las imágenes provienen de Wikipedia.

(*) « Se puede decir que no existe una cosa llamada probabilidad. También se puede decir que la probabilidad es la medida de nuestro grado de incertidumbre, o esto es, el grado de nuestra ignorancia dada una situación. Por consiguiente, puede haber una probabilidad de 1 entre 52 de que la primera carta en un baraja de cartas es la J de diamantes. Sin embargo, si uno mira la primera carta y la reemplaza, entonces la probabilidad es o bien 100% o 0%, y la elección correcta puede ser hecha con precisión por el que ve la carta. La física moderna proporciona ejemplos importantes de situaciones determinísticas donde sólo la descripción probabilística es factible debido a información incompleta y la complejidad de un sistema. » Para más información, Wikipedia. Pero resumiendo, cada vez que hablamos de probabilidad debemos tener presente que es más una herramienta de gestión del grado de ignorancia, que una propiedad de la naturaleza.