El Problema de Monty Hall

El Problema de Monty Hall es un clásico* problema matemático de probabilidad que está inspirado por el concurso televisivo estadounidense Let's Make a Deal (Hagamos un trato). El nombre del problema tiene su origen en el nombre del presentador del concurso. Como nota, aparece en la película 21 Blackjack.

El problema es el siguiente:

Supón que estás en un concurso, y se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un coche, y detrás de las otras, cabras. Escoges una puerta, digamos la nº1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra, digamos la nº3, que contiene una cabra. Entonces te pregunta: "¿No prefieres escoger la nº2?". ¿Es mejor para ti cambiar tu elección?

• Al concursante se le ofrece la posibilidad de escoger entre tres puertas. Tras una de ellas se encuentra un coche, y tras las otras dos hay una cabra. El concursante gana el premio que se oculta detrás de la puerta que escoja.


• Después de que el concursante escoja una puerta, el presentador abre una de las otras dos puertas, mostrando una cabra. Siempre puede hacerlo ya que incluso si el concursante ha escogido una cabra, queda otra entre las puertas que ha descartado y el presentador conoce lo que hay detrás de cada puerta.


• Entonces, ofrece al concursante la posibilidad de cambiar su elección inicial y escoger la otra puerta que descartó originalmente, que continúa cerrada.

La pregunta es: ¿debe hacerlo o no?

(*) Muchos lo conoceréis, pues es omnipresente en muchos blogs.

Algunas explicaciones después del salto.

En la web hay muchas explicaciones, unas más rigurosas que otras, bueno, ésta es mi forma de contarlo:

Como hay mayor probabilidad de elegir una cabra a la primera, suponemos que así ha sido. De esta forma obligamos al presentador a abrir la puerta que contiene a la otra cabra. Cambiamos de puerta en cuanto nos da la opción, y la probabilidad de llevarse el coche es la de haber escogido una cabra al principio, esto es, 2/3.

Si por el contrario suponemos que en el primer movimiento hemos elegido el coche, la probabilidad de hacerlo es de 1/3. El presentador abre una puerta y así descartamos una cabra. Aquí pueden ocurrir dos cosas:

1. Si nos da la oportunidad de cambiar de puerta y no lo hacemos, nuestra probabilidad de llevarnos el coche es la de haber acertado a la primera con el hecho de que realmente se trate de un coche (1/3).


2. Si sí que cambiamos de puerta, estamos en el primer caso, obviamente no podemos "creer" que tenemos el coche y a continuación cambiar de puerta.

Según todo esto, es preferible apostar a que a la primera hemos elegido una cabra (porque es más probable (2/3) que suceda) y cuando el presentador abra su puerta y nos ofrezca cambiar por la restante, hacerlo.

Si no cambiamos nuestra elección, nuestra única posibilidad es la de "haber acertado a la primera" con el coche, cosa que tiene menor probabilidad (1/3) de suceder.

Aunque parece una paradoja: elijamos lo que elijamos, no tenemos nada que nos haga pensar que una puerta es mejor candidata que otra, parece que no tenemos motivos para cambiar porque no hay nada que lo justifique. Si nos olvidamos de esto y simplemente atendemos a la probabilidad de lo que ocurre en nuestra primera elección, cambiar de puerta es beneficioso para conseguir el coche.

Gracias a la Wikipedia encontré un simulador, que no sé si está programado de buena fe o no, pero, si así es, confirma experimentalmente que es mejor cambiar de puerta.